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Statistik: Autopsie der Regressionsgleichung

Regressionsanalysen gehören zu den am häufigsten durchgeführten Analysen in den Sozialwissenschaften. Aber was besagt das Ergebnis einer Regressionsanalyse? Was hat es mit der Regressionsgeraden auf sich, was bedeuten die Regressionsgleichung.

Wie immer bei solchen elementaren Fragen, weiß Jürgen Bortz die Antwort. Ausgangspunkt der Antwort ist die allgemeine Regressionsgleichung:

(1) y = bx + a

“In der allgemeinen linearen Funktionsgleichung kennzeichnet x die unabhängige Veränderliche, y die abhängige Veränderliche, b die Steigung der Geraden ( = Tangens des Winkels zwischen der x-Achse und der Geraden) und a die Höhenlage ( = Schnittpuknt der Geraden mit der y-Achse). Die Steigung b einer Geraden kann positiv oder negativ sein. Ist die Steigung positiv, werden die y-Werte mit steigenden x-Werten ebenfalls größer. Eine negative Steigung besagt, dass die y-Werte be größer werdenden x-Werten kleiner werden.

[…]

Angenommen Leistungen von Versuchspersonen in 2 äquivalenten Tests x und y seien durch die Beziehung y = 0,5x + 10 miteinander verbunden. Aufgrund dieser Gleichung können wir vorhersagen, dass eine Person mit einer Leistung von x = 100 im Test y den Wert y = 0,5*100+10 = 60 erhält. Der Steigungsfaktor 0,5 besagt, dass alle x-Werte für eine Transformation in y-Werte zunächst mit 0,5 multipliziert werden müssen, was bedeutet, dass die y-Werte eine geringere Streuung aufweisen als die x-Werte. Offenbar vermag der Test y – nur ganzzahlige Werte in beinden Tests vorausgesetzt – Leistungsunterschiede nicht so gut aufzudecken wie der Test x.

Die additive Konstante von 10 schreibt vor, dass bei der Umrechnung von x-Werten in y-Werte zusätzlich zu jedem Wert 10 Testpunkte addiert werden müssen, egal welche Leistung eine Vp [Versuchsperson] im Test x erzielt hat. Die positive additive Konstante könnte bedeuten, dass Test y im Vergleich zu Test x leichter ist, weil Personen, die im Test x eine Leistung von Null erreicht haben, im Test y immerhin noch einen Wert von 10 erzielen.

Eine Gerade ist durch zwei Bestimmungsstücke, wie z.B. die Steigung und die Höhenlage oder auch 2 Punkte der Geraden, eindeutig festgelegt. Sind 2 Bestimmungsstücke einer Geraden erkannt, kennen wir die Koordinaten aller Punkte der Geraden. Ausgehend von der funktionalen Beziehung im oben genannten Beispiel kann im Rahmen des Gültigkeitsbereichs der Gleichung für jede x-Leistung eine y-Leistung aber auch umgekehrt für jede y-Leistung eine x-Lesitung eindeutig bestimmt werden. Dies wäre eine deterministische Beziehung (Bortz, Statistik für Sozialwissenschaftler, S.175).